Algebra lineare Esempi

$x - 2 y - z = 2$ $2 x + y - 3 z = 4$ $- 2 x + 4 y + 2 z = 6$

Passaggio 1

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 2 & 1 & - 3 & 4 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.1.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 2 & - 3 - 2 \cdot - 1 & 4 - 2 \cdot 2 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 4 + 2 \cdot - 2 & 2 + 2 \cdot - 1 & 6 + 2 \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 1}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $\frac{1}{10}$ per rendere il dato in $3, 4$ un $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $\frac{1}{10}$ per rendere il dato in $3, 4$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{0}{10} & \frac{0}{10} & \frac{0}{10} & \frac{10}{10} \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ per rendere il dato in $1, 4$ un $0$ .

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Passaggio 2.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ per rendere il dato in $1, 4$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 2 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 1 + 2 (- \frac{1}{5}) & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x - \frac{7}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 1$

Passaggio 4

Il sistema è incoerente quindi non c'è alcuna soluzione.

$Nessuna soluzione$